基礎概念と真理値

4 つの基礎定義

整合的（充足可能）

$\exists\, v \colon\, v \models \varphi$

ある真理値割当てによって真となる解釈が少なくとも1つ存在する論理式。

矛盾（充足不能）

$\forall\, v \colon\, v \not\models \varphi$

どんな真理値割当ての下でも常に偽となる論理式。例: $P \land \lnot P$。

妥当（恒真・トートロジー）

$\forall\, v \colon\, v \models \varphi$

どんな真理値割当ての下でも常に真となる論理式。例: $P \lor \lnot P$。

論理的帰結

$\Gamma \models \varphi$

$\Gamma$ を真にする任意の割当てが必ず $\varphi$ も真にする関係。

含意の同値性 ($P \to Q \equiv \lnot P \lor Q$)

左の 2 列が一致することを真理値表で確かめる。最右列で「妥当」と判定されるはず。

トートロジーと矛盾

恒真式 $P \lor \lnot P$ と矛盾式 $P \land \lnot P$ をそれぞれ確認する。

論理的帰結の例

モーダス・ポネンス: $\{P \to Q,\ P\} \models Q$。 前提を全て真にする行で結論も真になっていることを確認する。